מאמר זה הולך לחקור מה זה בסיס אורתונורמלי של מטריצה וכיצד למצוא אותם ב-MATLAB באמצעות ה orth() פוּנקצִיָה.
מהם הבסיס האורתונורמלי של מטריקס
באלגברה לינארית, ה בסיס אורתונורמלי של מרחב וקטור V בעל ממד סופי הם הבסיס שיש וקטורים אורתונורמליים איפה ה וקטורים אורתונורמליים הם וקטורי היחידה שהם אורתוגונלים זה לזה, כלומר מכפלת הנקודה שלהם היא אפס.
קחו בחשבון וקטורים של שתי יחידות x ו-y, הם יהיו אורתוגונלים זה לזה אם 'x.y=0' . שני הוקטורים הללו נקראים גם וקטורים אורתונורמליים .
למה אנחנו צריכים לחשב בסיס אורתונורמלי
בסיס אורתונורמלי שימושי במונחים של מציאת השלכה של וקטור על וקטור אחר או מציאת המרחק בין שני הוקטורים. אנחנו יכולים גם להשתמש ב-an בסיס אורתונורמלי כדי להפחית את שגיאת העיגול בסימולציות שלנו והסיבה היחידה לכך היא שהווקטורים בבסיס אורתונורמלי אינם תלויים זה בזה, ולכן שגיאה בוקטור אחד לא יכולה להתפשט לוקטורים אחרים. יתרה מכך, מציאת קואורדינטות וביצוע טרנספורמציה ליניארית היא הרבה יותר קלה אם הבסיס שלנו הוא אורתונורמלי.
כיצד למצוא את הבסיס האורתונורמלי של מטריצה ב-MATLAB?
ב-MATLAB, אנו יכולים למצוא את בסיס אורתונורמלי באמצעות המובנה orth() פונקציה שאחראית על קביעת בסיס אורתונורמלי של מטריצה נתונה. פונקציה זו מקבלת מטריצה כפרמטר חובה ומספקת מטריצה כפלט המכילה את בסיס אורתונורמלי של מטריצת הקלט הנתונה.
תחביר
ה orth() ניתן ליישם את הפונקציה ב- MATLAB באמצעות התחבירים הבאים:
ש = אורת ( א,טול )
כאן,
- הפונקציה Q = ort(A) אחראי לקביעת בסיס אורתונורמלי עבור הטווח של A שבו עמודות של מטריצת פלט Q מייצגות את בסיס אורתונורמלי של מטריצה A והם שולחים דואר זבל לטווח של מטריצה A. כמו כן, הדרגה של A שווה לספירת העמודות של Q.
- הפונקציה Q = orth(A,tol) אחראי לקביעת בסיס אורתונורמלי עבור הטווח של A המציין את הסובלנות. הערכים הסינגולריים של מטריצת הקלט A, שהם פחות מהסובלנות, מטופלים כאפס על ידי השפעה על מספר העמודות של Q.
דוגמה 1: כיצד למצוא בסיס אורתונורמלי של מטריצת דירוג מלאה ב-MATLAB?
קוד MATLAB זה קובע את בסיס אורתונורמלי של מטריצה ריבועית נתונה A בגודל n=3 באמצעות ה- orth() פוּנקצִיָה. קוד זה מוצא גם את הדרגה של מטריצה A באמצעות ה דַרגָה() פונקציה כדי לוודא שמטריצת הקלט היא בדרגה מלאה.
א = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = דרגה ( א )
ש = אורת ( א )
דוגמה 2: כיצד לחשב את הבסיס האורתונורמלי של מטריצה חסרת דירוג ב-MATLAB?
בדוגמה זו אנו משתמשים ב- orth() פונקציה כדי למצוא את בסיס אורתונורמלי של המטריצה הנתונה בדרגה A. המטריצה A היא חסרת דרגה בגלל rank(K)
r = דרגה ( א )
ש = אורת ( א )
דוגמה 3: כיצד למצוא בסיס אורתונורמלי של מטריצת דירוג מלאה על ידי ציון סובלנות ב-MATLAB?
הדוגמה הנתונה מחשבת את בסיס אורתונורמלי של מטריצה ריבועית בדרגה מלאה נתונה A בעלת גודל n=3 משתמש ב orth() פונקציה עם סובלנות ברירת מחדל. מכיוון ש-A היא מטריצת דרגה מלאה, הגודל של A ו-Q (בסיס אורתוגונלי) זהה, שהוא 3×3 במקרה זה. לאחר מכן הדוגמה מחשבת את בסיס אורתונורמלי של A על ידי ציון הערך של סובלנות 0.5 כדי להתייחס לערכי A הנמוכים מ-0.5 כערכים יחידים. ישנם שלושה ערכים יחידים ב-A, ולכן ל-A יש שני וקטורים עמודים אורתונורמליים כפי שהם מכילים Qtol מַטרִיצָה.
A = ראנד ( 3 ) ;r = דרגה ( א )
ש = אורת ( א )
Q_tol = orth ( א, 0.5 )
סיכום
מציאת ה בסיס אורתונורמלי של מרחב וקטורי הוא מושג חשוב של אלגברה לינארית שהיא בעיה מתמטית מסובכת. עם זאת, ניתן לפתור אותה בקלות וביעילות על ידי שימוש במובנים של MATLAB orth() פוּנקצִיָה. מאמר זה הציג את היישום של פונקציה זו באמצעות תחבירים ודוגמאות שונות.